Tip berguna

Tema 2

Pin
Send
Share
Send
Send


Kepentingan kompaun - ia hanyalah fungsi eksponen atau eksponen. Mereka juga dipanggil "faedah atas faedah" atau faedah kompaun (eng. faedah kompaun) dan sering menggunakannya dalam perkara kewangan. Peratusan biasa juga digunakan, tetapi kadar pertumbuhan di antara mereka berbeza dengan ketara. Peratusan biasa sepadan dengan fungsi linier. Tetapi dalam hal kewangan mereka tidak menggunakan kesinambungan hujah, seperti dalam analisis matematik, di sini adalah lebih baik untuk membincangkan perkembangan: geometri dan aritmetik, masing-masing.

Kedua-dua perkembangan ini adalah urutan nombor yang ditakrifkan oleh formula rekursif paling mudah. Mereka boleh digambarkan hampir tanpa sebarang matematik, di jari-jari.

Sebagai contoh, perkembangan geometri:

  1. kita mempunyai ahli yang pertama X1,
  2. setiap ahli urutan berikutnya adalah sama dengan yang sebelumnya, didarabkan dengan nombor yang tetap r (penyebut kemajuan geometri). Formula ditunjukkan di bawah.

Dalam formula ini, jika r lebih daripada satu, maka setiap ahli berikutnya akan lebih besar daripada yang sebelumnya, sebagai peraturan, inilah yang biasanya diperlukan dari bunga kompaun. Perkembangan geometri dibentuk oleh produk setiap ahli lain urutan ini. Untuk memahami bagaimana pengiraan faedah kompaun berfungsi, kita mengira, contohnya, istilah ketiga jujukan sedemikian, bermula dengan yang pertama:

Perkembangan aritmetik berbeza daripada geometri hanya dalam pemalar (dipanggil perbezaan perkembangan) tidak berlipat ganda, tetapi ditambah pada masa sebelumnya untuk memperoleh seterusnya.

Formula faedah kompaun asas

Dalam formula berikut, kami menggunakan rekod yang sedikit berbeza, lebih mudah untuk bekerja dengan peratusan.

  • X - hasil akhir pengumpulan
  • X0- nilai awal, yuran masuk
  • r - nisbah kenaikan, kadar faedah
  • n - bilangan tempoh pengumpulan

r - selalu nombor positif, dalam praktiknya biasanya kecil. Apa formula yang boleh diberikan kepada kami? Dengan itu, kita boleh mengira banyak perkara, tetapi lebih baik untuk bermula dengan yang paling mudah.

Biarkan tawaran yang kami percayai bank untuk membuat deposit pada 8.5% setahun. Ini bermakna setiap tahun modal kita akan meningkat sebanyak 8.5%.

Sesetengah orang naif percaya (masih terdapat beberapa!) Bahawa apabila meningkatkan sumbangan sentiasa ia hanya mengenai bayaran pendahuluan, diikuti dengan kenaikan berkadar langsung, bebas dari masa (faedah mudah). Ini juga digunakan oleh penjahat. Sebagai contoh, Karl Marx pernah menggunakan penipuan untuk menipu berjuta-juta orang, dengan segala akibat yang kita tahu. Tetapi ini adalah topik yang berbeza dan besar. Malah, bank menggunakan kedua-dua faedah dan kompleks mudah untuk pelbagai deposit dan pinjaman.

Malah, modal kita akan berkembang lebih cepat. Marilah kita membuat sumbangan satu kali untuk 12,000 rubel selama 10 tahun. Kemudian, walaupun dalam kalkulator yang paling mudah, kita dapat mengira apa yang boleh kita lakukan dengan lapan setengah peratus:

r = 1 + 0.085 = 1.085

Kemudian bertambah banyak r dengan sendirinya 10 kali (ini boleh dilakukan dengan menekan kekunci: 1.085 x 2 x 2 * 1.085 = x 2 = ) Dapatkan nombor itu 2,260983442. Kami melipatgandakan nombor ini dengan pembayaran awal dan dapatkan jumlah kami dalam akaun: 27,131 rubel 80 kopecks.

Perlu diingat bahawa dalam perisian perbankan, bukannya angka sebenar untuk wang, format mata wang khusus digunakan. Ini menghapuskan salah faham dan penyalahgunaan yang berkaitan dengan ralat pengiraan.

Bandingkan dengan perkembangan aritmetik mudah. Perolehan modal untuk tahun pertama: 12 000 * 1.085 - 12 000 = 12 000 * 0.085 = 1020 rubles. Selama 10 tahun ia akan menjadi 10 200 Rubles. Sekiranya anda menambah peningkatan pada pembayaran ke bawah, anda akan mendapat segala-galanya 22 200 Rubles. Perbezaannya adalah penting: 4931.80 Rubles.

Kadar faedah sering agak tinggi dan kemudian pertumbuhan modal menjadi hebat. Tetapi itu adalah risiko. Sebaliknya, kadar faedah yang sangat rendah selalu bermakna kebolehpercayaan yang lebih tinggi. Walau bagaimanapun, untuk keuntungan yang baik dalam masa yang boleh diterima, anda perlu mempunyai banyak modal.

Berapa banyak peningkatan modal dalam sebulan, jika faedahnya adalah tahunan

Tempoh permodalan tidak selalu tahunan, kadangkala ia dikira sebulan sekali, dan semasa rangkaian komputer perbankan, anda mampu membeli bunga secara mewah setiap hari. Pengiraan faedah kompaun untuk sebarang tempoh ia adalah mungkin mengikut formula lain yang digunakan dalam bank:

  • p - peratusan setahun
  • d - tempoh permodalan, hari
  • y - bilangan hari dalam tahun kalendar semasa

Parameter baki formula adalah sama seperti sebelumnya. Kini, ia mungkin dapat diteruskan kepada tugas-tugas tradisional lain yang berkaitan dengan minat, tetapi lebih baik untuk melihat kemungkinan lain yang kita miliki sekarang.

Menggunakan program pejabat untuk bekerja dengan faedah kompaun

Mana-mana suite pejabat, iaitu pemproses spreadsheetnya, menyediakan banyak fungsi untuk penempatan tunai: dari yang paling mudah hingga yang paling kompleks. Hanya pilih yang betul (atau beberapa) untuk menyusun formula anda. Jika anda menggunakan keupayaan untuk program dalam VBA di Excel, anda boleh mendapatkan hasil yang lebih cepat dalam pengiraan. Apabila kadar faedah kompaun dikira, formula boleh menjadi rekursi paling mudah tanpa sebarang darjah dan logaritma. Kitaran dengan parameter dalam bilangan tempoh akruan akan melakukan segala-galanya. Jika perlu, anda boleh menambah jumlah pelaburan berkala tanpa membingungkan mengenai terbitan atau mencari formula.

Dalam contoh yang ditunjukkan di bawah, ia digunakan, bagaimanapun, bukan MS Excel, tetapi Calar Percumaoffice, Adakah kembar Excel untuk sistem operasi seperti UNIX. Tetapi ini, pada prinsipnya, tidak mengubah apa-apa pun. Kod makro untuk OOBasic, walaupun berbeza dari Excel, hanya dalam butiran teknikal.

Dalam contoh di dalam gambar di atas, kita mengira kedua-dua kompaun dan kepentingan mudah pada deposit sebanyak 8.6% setahun. Faedah diakru setiap tahun dan sumbangannya dikira selama 18 tahun lebih awal. Sumbangan awal 25 ribu rubel kami (bersyarat) dilakukan pada 1 Januari 2017. Sekiranya kita ingin membandingkan graf untuk hasil ini, yang sememangnya lebih visual, maka dialu-alukan ke lembaran seterusnya, ke mana graf ini sangat mudah untuk dimasukkan.

Satu contoh menunjukkan bahawa sepanjang tempoh lalu, faedah kompaun adalah dua kali ganda lebih mudah.

Satu lagi contoh. Anda boleh membuat semula model kami dan mengeluarkan sekatan pada permodalan tahunan. Kemudian kita boleh menyelesaikan masalah lain. Katakan kami telah membuka akaun sen di bursa Forex dan ingin menyertai perdagangan mata wang. Memandangkan kita mampu, dengan teliti bekerja dengan maklumat, berkembang sebanyak 10% setiap hari (yang mungkin sedikit gagah, tetapi Tuhan memberkati dia), mari kita lihat apa yang keluar dari deposit seribu rubel sebulan, iaitu. 22 hari bekerja. Untuk melakukan ini, sedikit mengubah formula untuk faktor pemalar kami:

Kini kami telah mengeluarkan sekatan (agak buatan) pada pengiraan semula tahunan. Dan kita dapat gambar berikut:

Dan pada graf kita dapat melihat pertumbuhan dan perbezaan di antara kompaun dan peratus biasa:

Dan di sini anda dapat melihat perbezaan antara kepentingan mudah dan kompaun.

2.1. Kadar faedah kompaun

Penyelesaian dengan kadar faedah yang mudah agak mudah dan mudah. Walau bagaimanapun, mereka adalah penggunaan terhad.

Katakan bank membayar faedah mudah selama 3 tahun pada kadar i. Dengan deposit permulaan yang sama dengan P, pendeposit akan mempunyai jumlah S dalam akaun dalam setahun1:

S1 = P (1 + i),

selepas 2 tahun - jumlah S 2:

S2 = P (1 + 2 i),

selepas 3 tahun - jumlah S 3:

S3 = P (1 + 3 i).

Walau bagaimanapun, pendeposit boleh menutup akaun dalam setahun, menerima jumlah S1, termasuk faedah, dan meletakkan jumlah ini dalam akaun baru. Pada akhir tahun depan, dia boleh mengulangi operasi ini. Akibatnya, selepas tahun pertama, dia akan menerima jumlah S '1 sama dengan jumlah sebelumnya S 1:

S = s1 = P (1 + i),

selepas tahun kedua, jumlah baru S '1:

selepas tahun ketiga, jumlah S '3:

Jumlah baru akan lebih besar daripada yang sebelumnya, kerana ia mengandung minat bukan hanya pada sumbangan awal, tetapi juga pada minat yang telah diperoleh sebelumnya. Dalam bentuk matematik, ini sepadan dengan ketidaksamaan:

Oleh itu, adalah berguna bagi pendeposit untuk mengeluarkan wang dari akaun dan mendepositkannya ke akaun lain. Untuk menjalankan operasi sedemikian setiap suku tahun lebih menguntungkan daripada setiap tahun, dan setiap bulan lebih menguntungkan daripada setiap suku tahun. Selalunya pelabur memindahkan wang, lebih banyak pendapatan yang akan dia terima. Akibatnya, sebahagian besar pendeposit bank akan berusaha untuk menjalankan operasi sedemikian.

Bagi bank, ini penuh dengan pelbagai masalah dalam kerja. Pertama, bagi operasi sedemikian bank perlu menyimpan rizab tambahan wang tunai. Kedua, kelebihan operasi tersebut merumitkan kerja perbankan semasa. Akhirnya, ketiga, pendeposit, yang telah menutup akaun, boleh meletakkan wang yang diterima ke bank lain, keadaan yang pada masa ini akan kelihatannya lebih baik.

Sehubungan ini, bank-bank sendiri mengambil inisiatif untuk menjalankan operasi sedemikian. Faedah yang timbul atas deposit itu ditambah kepada deposit, supaya faedah baru diakru pada jumlah yang meningkat, termasuk faedah terakru yang sebelumnya. Operasi ini dipanggil pengiraan faedah kompaun.

Pertumbuhan jumlah itu selaras dengan kepentingan kompaun boleh dibayangkan sebagai peningkatan dalam faedah mudah yang digunakan untuk peningkatan jumlah yang termasuk faedah terakru yang terdahulu, iaitu, sebagai pelaburan semula secara berkala dana yang dilaburkan dengan kepentingan mudah dalam setiap tempoh akruan.

Dalam amalan, apabila mengira faedah kompaun, biasanya jangka masa tertentu diambil untuk tempoh akruan piawai (tahun, suku, bulan, dan sebagainya) dan kemudian faedah yang dikira untuk tempoh standard yang serupa akan dihitung selanjutnya. Dalam erti kata lain, masa dalam pengiraan sedemikian dianggap sebagai kuantiti diskret, diukur oleh tempoh standard. Pada masa yang sama, mereka bercakap mengenai peratusan diskret.

Jika kita mengurangkan panjang selang standard itu, bergerak dari suku ke satu bulan, seminggu, sehari, dan sebagainya, maka dalam batas kita akan bergerak dari peratusan diskrit ke persentase yang berterusan, dikira untuk tempoh waktu yang sangat kecil.

2.1.1. Pertumbuhan jumlah pada kadar faedah kompaun

Biarkan jumlah awal bersamaan dengan P dan ia tumbuh mengikut kadar faedah kompaun bersamaan dengan i untuk satu tempoh masa. Selepas tempoh sedemikian, peningkatan jumlah S akan ditentukan oleh formula berikut (rumus faedah kompaun):

S = P (1 + i) n

Nilai (1 + i) n biasanya dipanggil pekali pertumbuhan, atau faktor pertumbuhan. Ia menunjukkan berapa banyak wang setiap ruble yang mula-mula melaburkan dana akan berubah menjadi selepas tempoh masa.

Jika anda mengira jumlah terkumpul wang bersama dengan faedah berurutan untuk setiap tahun

untuk tahun pertama:

untuk tahun kedua:

untuk tahun kelima:

maka kita dapati bahawa wang yang diterima adalah ahli-ahli dari suatu perkembangan geometri, di mana ahli pertama adalah nilai P, dan penyebut kemajuan adalah (1 + i)

Sekiranya anda menggunakan operasi pelaburan semula apabila mengira faedah kompaun menggunakan formula, iaitu, mengeluarkan wang dari akaun bersama dengan faedah dan memasukkannya ke dalam akaun, pelabur tidak akan memenangi apa-apa pada kadar faedah yang sama.

Memang, pendeposit meletakkan dana dalam jumlah P ke dalam akaun mengenai pengiraan faedah kompaun. Selepas tempoh masa, dia menarik balik wang dari akaun dan meletakkannya semula untuk tempoh m lagi. Kemudian selepas tempoh k pertama dia akan menerima jumlah Q:

Q = P (1 + i) k.

Kemudian jumlah ini Q, selepas tempoh m yang lain, berubah menjadi jumlah baru S:

S = Q (1 + i) m.

Menyatakan jumlah akhir S melalui P awal, kami dapat:

S = Q (1 + i) m = P (1 + i) k (1 + i) m = P (1 + i) k + m.

Oleh itu, keputusannya adalah sama seperti jika pelabur tidak menjalankan operasi perantaraan, tetapi hanya meletakkan jumlah awal P pada jumlah bilangan masa yang sama dengan k + m.

2.1.2. Jumlah kenaikan bagi bilangan bukan integer tempoh masa

Dalam amalan organisasi kewangan, kadang-kadang faedah terakru hanya untuk bilangan bilangan integer. Jika ini tidak diramalkan, maka apabila mengira minat untuk bilangan bilangan integer, kaedah yang berbeza digunakan.

Akrual bagi bilangan bilangan integer boleh dilakukan menggunakan formula faedah kompaun yang sama seperti integer. Sebagai contoh, jika anda ingin mengira jumlah yang meningkat untuk tempoh 5.2, maka pengiraan dalam kes ini dijalankan mengikut formula

S = P (1 + i) 5 (1 + i) 0.2 = P (1 + i) 5.2.

Dalam erti kata lain, untuk bilangan fraksional 0.2 dari suatu tempoh, faedah dikira mengikut skim yang sama seperti bilangan bilangan integer. Ini membolehkan anda menulis formula umum untuk faedah kompaun untuk sebarang masa:

S = P (1 + i) t,

tidak kira sama ada ia mengandungi nombor integer atau bukan integer tempoh.

Dalam sesetengah kes, akrual untuk bilangan tempoh tidak integer dijalankan mengikut formula yang lain, campuran. Untuk bilangan integer tempoh, faedah terakru menggunakan formula faedah kompaun, dan untuk baki pecahan - mengikut formula faedah yang mudah. Dalam kes ini, akruan untuk tempoh 5.2 akan dijalankan mengikut formula

S = P (1 + i) 5 (1 + i 0.2).

Perlu diingat bahawa amaun terakru dalam kes ini akan sedikit lebih besar daripada ketika mengira kaedah pertama.

Akhir sekali, seperti yang dinyatakan di atas, kadang kala untuk pecahan sebahagian tempoh, faedah tidak terakru sama sekali. Dalam kes ini, akruan untuk tempoh 5.2 ditentukan oleh formula

S = P (1 + i) 5.

2.1.3. Kadar pembolehubah kompleks dan purata geometri

Biasanya kadar faedah tetap ditunjukkan dalam terma kontrak. Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes, kadar pembolehubah boleh dipersetujui. Ini biasanya dikaitkan dengan proses inflasi, yang mengurangkan pertumbuhan dalam nilai sebenar jumlah moneter, atau dengan perubahan dalam kadar pertukaran yang mana syarat-syarat kontrak dikaitkan.

Dalam kes-kes ini dan yang serupa, perubahan dalam kadar faedah ditetapkan.

Pertimbangkan keadaan dengan kadar faedah kompaun berubah. Katakan bahawa dalam jeda pertama kali panjang t 1, taruhan adalah sama dengan i 1, dalam jarak kedua panjang t2, taralah sama dengan i2, dalam jarak ketiga panjang t 3, taralah sama dengan i, dan sebagainya. Jurang, seperti sebelumnya, boleh mempunyai panjang yang berbeza .

Pertimbangkan n seperti jangka panjang t 1, t 2. t n. Sumbangan pada kadar berubah kompleks pada akhir tempoh terakhir adalah:

Kami menentukan kadar faedah purata i untuk deposit deposit pada kadar pembolehubah yang kompleks.

Katakanlah, seperti dahulu, T ialah jumlah keseluruhan deposit pada kadar berubah

a ialah pecahan dari selang tk dalam keseluruhannya:

Kadar faedah purata yang, menurut definisi, memenuhi syarat berikut: jika digantikan dalam formula pertumbuhan dan bukannya setiap kadar i, hasil pengiraan tidak akan berubah. Dengan cara ini:

Dari sini kita mendapatkan formula untuk (1 + i) - nilai purata pekali pertumbuhan setiap masa unit:

Akhirnya, kadar faedah kompaun purata saya sendiri adalah:

Mengikut formula untuk purata pekali pertumbuhan (1 + i), ia adalah purata wajaran pekali pertumbuhan geometrik untuk selang masa individu. Faktor pemberat adalah saham jangka masa yang sama dalam jangka masa deposit.

Faktor pertumbuhan bagi tempoh masa yang mempunyai panjang yang relatif besar akan dimasukkan ke dalam purata wajaran terakhir dengan berat badan yang besar.

Dalam kes tertentu, apabila panjang semua tempoh masa bersamaan antara satu sama lain, bahagian masing-masing adalah 1 / n, dan purata wajaran berubah kepada purata geometrik biasa:

2.1.4. Pengiraan inflasi

Kadar inflasi untuk tempoh masa tertentu mencirikan peningkatan peratusan paras harga untuk tempoh tertentu.

Katakan kadar inflasi untuk Januari, Februari dan Mac diketahui. Menunjukkan h 1, h 2, h 3 kadar inflasi selama tiga bulan ini.

Bagaimana untuk mengira kadar inflasi h q1 untuk keseluruhan suku pertama?

Tidak salah berfikir bahawa kadar inflasi suku tahunan adalah sama dengan jumlah tiga kadar bulanan, iaitu, bahawa

h q1 = h 1 + h 2 + h 3.

Ini, tentu saja, tidak begitu. Formula ini tidak mengambil kira bahawa inflasi Februari mencirikan peningkatan peratusan harga berbanding dengan harga yang telah meningkat pada bulan Januari, dan inflasi Mac menunjukkan peningkatan peratusan harga berbanding harga Februari.

Oleh itu, kadar inflasi dalam beberapa tempoh perlu merangkumi perakaunan faedah atas faedah, seperti dalam pengiraan dengan kadar faedah kompaun.

Dengan kaedah yang salah, kami merawat kadar inflasi dengan kadar faedah yang mudah. Cara yang betul menghendaki mereka dianggap sebagai pertaruhan yang kompleks. Pertimbangkan cara yang betul.

Pertama, anda perlu bergerak untuk mengira indeks pertumbuhan (kadar pertumbuhan) harga dalam setiap bulan.

Indeks pertumbuhan harga dinyatakan dengan formula berikut:

di mana q adalah bilangan barang yang diambil kira apabila mengira indeks pertumbuhan harga,

p - harga barangan yang diambil kira apabila mengira indeks pertumbuhan harga dalam tempoh asas,

p-harga barangan yang sama dalam tempoh pelaporan.

Indeks pertumbuhan harga untuk tempoh berturut-turut

Kadar inflasi h dinyatakan dalam formula:

Oleh itu, indeks pertumbuhan I 1, I 2, I 3 ditentukan oleh formula:

I 1, = 1 + h 1, I 2, = 1 + h 2, I 3, = 1 + h 3.

Setiap indeks menunjukkan berapa kali paras harga untuk bulan tertentu telah berubah. Produk indeks ini memberikan suku tahunan suku I 1. Indeks suku tahunan suku saya1 menunjukkan berapa kali paras harga untuk suku pertama telah berubah:

Saya q1 = I 1 * I 2 * I 3.

Untuk mendapatkan kadar inflasi suku tahunan, tolak unit dari indeks suku tahunan:

h q1 = I q1 - 1.

Oleh itu, sebagai hasilnya, kita dapati

h q1 = I q1 - 1 = I 1 * I 2 * I 3 - 1 = (1 + h 1) * (1 + h 2) * (1 + h 3) - 1.

Dalam bulan yang berlainan, inflasi mungkin berbeza-beza. Bagaimana untuk mengira purata kadar inflasi bulanan purata pada suku tahun? Untuk melakukan ini, anda mesti mengira purata indeks bulanan I srmes mengikut formula

Затем среднемесячный темп инфляции h срмес получается вычитанием 1 из среднемесячного индекса:

h срмес = I срмес — 1.

Таким образом, итоговая формула расчета имеет вид:

Она полностью аналогична формуле средней сложной процентной ставки.

2.2. Годовые, квартальные, месячные ставки процента

Kepentingan kompaun sering dikira tidak sekali, tetapi beberapa kali setahun, setiap suku, setiap bulan, dan lain-lain. Dalam kes ini, kadar faedah nominal i biasanya ditunjukkan dalam kontrak, yang menentukan kadar dalam setiap tempoh akruan (untuk akruan suku tahunan, dengan bulanan, dan sebagainya).

2.2.1. Kadar Faedah Seimbang

Rumusan yang menghubungkan kadar faedah antara satu sama lain untuk tempoh masa yang berlainan boleh didapati dengan menggunakan prinsip kesetaraan kewangan hasil.

Hasil kewangan untuk tahun yang diperoleh pada tingkat tahunan harus sama dengan hasil keuangan untuk 4 suku berturut-turut yang dikira menggunakan formula bunga kompaun untuk kadar suku tahunan yang sama. Oleh itu, kita mendapat persamaan:

Derivasi formula bercakap tentang kesetaraan keputusan kewangan untuk tahun ini. Adalah penting untuk diperhatikan bahawa kesetaraan hasil dipastikan tidak hanya untuk tahunan, tetapi juga untuk sebarang tempoh masa.

Biarkan tempoh masa dikira dalam tahun menjadi n (bilangan n tidak semestinya integer). Kemudian jurang ini mengandungi 4 . n kuarters. Peningkatan pada kadar faedah tahunan dan suku tahunan bersamaan untuk tempoh masa ini bersamaan antara satu sama lain,

Kami telah mewujudkan hubungan antara kadar tahunan dan suku tahunan. Alasan yang sama membolehkan kita membentuk hubungan antara kadar tahunan, suku dan bulanan:

Pertimbangkan keadaan secara umum. Biarkan tempoh faedah saya dibahagikan kepada m masa yang sama. Kemudian kadar faedah i 'yang dikaitkan dengan selang ini ditentukan melalui kadar i mengikut nisbah tersebut

(1 + i ') m = (1 + i).

i = (1 + i ') m - 1,

i '= (1 + i) 1 / m - 1.

Dengan cara ini, hubungan boleh ditubuhkan antara kadar faedah untuk mana-mana dua tempoh masa. Biarkan tempoh t dan t 'dinyatakan dalam unit yang sama (tahun, bulan, hari, dan sebagainya). Biarkan kadar faedah saya ditetapkan untuk tempoh t, dan kadar faedah i 'untuk tempoh t'. Kadar ini bersamaan jika ia membawa kepada keputusan yang sama untuk tempoh masa yang sama, iaitu, jika faktor pengumpulan yang sesuai untuk tempoh masa yang sama adalah sama.

Sebagai selang tunggal, kami mengambil selang txt '. Ia mengandungi tempoh t dalam jumlah t 'dan tempoh t' dalam jumlah t. Keadaan kesetaraan ditulis dalam bentuk persamaan:

(1 + i) t '= (1 + i') t.

Dari sini, kita dapat mendapatkan formula yang menyatakan satu taruhan melalui yang lain:

Biasanya, kontrak menentukan kadar faedah tahunan. Ia dalam kes ini disebut kadar faedah nominal. Kadar faedah bersamaan dengannya untuk jangka masa lain yang dikira mengikut formula di atas disebut seimbang (atau keseimbangan).

Oleh itu, mereka bercakap mengenai kadar tahunan nominal dan seimbang (seimbang) kadar separa tahunan, suku tahunan, bulanan, harian.

2.2.2. Kadar faedah relatif

Dalam perenggan yang terdahulu, kami memperoleh formula yang membolehkan kadar faedah yang terikat kepada satu tempoh akruan untuk ditukar kepada satu lagi, kadar faedah yang setara, diikat kepada tempoh akruan yang lain. Khususnya, formula ini membolehkan anda menerjemahkan kadar tahunan nominal ke dalam kadar yang seimbang.

Rumusan yang dihasilkan adalah tepat, tetapi kerana kerumitan mereka tidak selalu mudah untuk kegunaan praktikal. Dalam amalan transaksi kewangan, formula ini sering digantikan oleh formula lain yang lain. Daripada kadar yang seimbang, formula mudah ini menentukan kadar relatif (relasi) yang dipanggil.

Harus diingat bahawa pengiraan kadar relatif, yang agak mudah, membawa kepada keputusan yang tidak tepat.

Biarkan kadar faedah tahunan menjadi tahun. Kemudian kadar relatif suku tahunan q dikira oleh formula

Kadar relatif bulanan bulan i ditentukan oleh formula

Secara umum, kadar relatif untuk tempoh masa t, diukur dalam tahun, ditentukan oleh nilai:

i = itahunt.

Untuk suku t = 1/4, untuk bulan t = 1/12, jadi dari formula umum yang terakhir, kes-kes khas bagi suku suku dan bulanan diperoleh secara automatik.

Pertimbangkan keadaan secara umum. Katakan tempoh akruan dibahagikan kepada m sela masa yang sama. Kemudian kadar faedah relatif i 'yang dikaitkan dengan jangka masa tersebut dikira oleh formula

i = m i '

membolehkan anda menyatakan tawaran asal saya melalui saudara saya '. Kami mewujudkan hubungan antara kadar faedah relatif untuk mana-mana dua tempoh masa. Biarkan tempoh masa t dan t 'diukur dalam unit yang sama. Untuk tempoh t, kadar faedah i ditetapkan, dan untuk tempoh kadar faedah i '. Kadar ini dianggap relatif kepada satu sama lain jika ia berkaitan dengan nisbah:

iaitu, jika ia bersamaan satu unit masa. Dalam bentuk yang sama, persamaan ini mempunyai bentuk

Dari sini kami akan mendapatkan formula yang membolehkan anda untuk meluahkan taruhan melalui satu lagi:

Kadar tahunan nominal ditukar kepada kadar relatif untuk setengah tahun, suku, bulan dengan membahagikan kadar tahunan mengikut nombor yang sepadan. Transisi sedemikian sepadan dengan transformasi dengan menggunakan formula faedah mudah. Walau bagaimanapun, transformasi selanjutnya yang berkaitan dengan penggunaan kadar relatif dijalankan mengikut formula bunga kompaun.

Oleh itu, pertumbuhan deposit melebihi m bulan pada kadar faedah kompaun tahunan nominal dikira menggunakan kadar relatif seperti berikut. Pada kadar tahunan i tahun, hitung bulan bulanan i bulan:

dan kemudian, menurut formula faedah kompaun, pekali pembentukan untuk m bulan ditentukan. Ia mempunyai nilai:

Pengiraan sedemikian membawa kepada gangguan.

Sebagai contoh, untuk m = 6, pekali pembentukan menggunakan kadar relatif boleh dikira dalam beberapa cara yang berbeza. Mereka akan membawa kepada keputusan yang berbeza.

Formula pengiraan tertentu tidak boleh ditentukan dalam kes tersebut apabila setiap pihak bersedia untuk mendamaikan dengan gangguan yang timbul daripada ini.

Pengiraan yang tepat dan bebas distorsi adalah berdasarkan kadar yang seimbang. Sekiranya percanggahan timbul di sini, ini bukan disebabkan intipati perkara itu, tetapi semata-mata dengan ketepatan pengiraan. Ketepatan meningkat jika bilangan tempat perpuluhan yang lebih besar terlibat dalam pengiraan atau jika pengiraan dilakukan dalam pecahan biasa.

Pengiraan dengan kadar relatif selalu memperkenalkan gangguan tertentu yang tidak dapat dihapuskan dengan hanya meningkatkan ketepatan pengiraan.

2.2.3. Kadar faedah berkesan

Dalam amalan, mereka sering menggunakan kadar relatif. Penggunaannya dikaitkan dengan kemudahan yang hebat (menjejaskan ketepatan) dan dengan tradisi yang mantap.

Walau bagaimanapun, apabila menjalankan analisis yang tepat dan dalam kajian teori, kadar yang seimbang digunakan. Dia juga dipanggil kadar faedah berkesan.

Kadar faedah berkesan menunjukkan pendapatan relatif sebenar yang timbul untuk tahun berkaitan dengan akruan kepentingan. Dengan kata lain, kadar efektif adalah kadar faedah kompaun tahunan yang memberikan jumlah pendapatan yang sama seperti kaedah pengiraan faedah sebenar.

Sekiranya faedah terakru setahun sekali, maka kadar efektif sepadan dengan kadar faedah nominal yang kompleks. Sekiranya faedah terakru lebih kerap, maka kadar berkesan dan nominal boleh berbeza secara numerik. Surat-menyurat antara mereka bergantung kepada kaedah mengira kepentingan untuk tempoh masa individu.

Jika kaedah yang sebenarnya digunakan dalam perhitungan bulanan (suku tahunan) adalah berdasarkan kadar yang seimbang, maka kadar efektif bertepatan dengan kadar faedah nominal. Sekiranya kaedah benar-benar digunakan untuk pengiraan bulanan (suku tahunan) adalah berdasarkan kadar relatif (atau beberapa skim penyelesaian lain), maka kadar efektif dan nominal akan berubah menjadi berbeza.

2.3.1. Ciri-ciri pertumbuhan minat mudah dan kompaun

Pertimbangkan pertumbuhan sumbangan mengikut rumus bunga mudah dan kompaun pada kadar faedah yang sama.

Biarkan faedah terakru pada kadar i untuk tempoh masa (contohnya, setahun). Kemudian pertumbuhan jumlahnya dari masa t dari nilai awal P ditentukan oleh formula berikut:

- untuk kepentingan mudah:

S = P (1 + i t),

- untuk kepentingan kompaun:

S = P (1 + i) t.

Caj bagi nombor bukan integer tempoh dilaksanakan di sini mengikut formula yang sama seperti integer. Untuk peratus sederhana, nilai S bergantung pada masa t mengikut undang-undang fungsi linier. Untuk kepentingan kompaun, ia bergantung kepada t mengikut undang-undang fungsi eksponen. Dalam rajah. 2.1 graf kebergantungan tersebut dibentangkan.

Rajah. 2.1. Pertumbuhan dalam jumlah yang sesuai dengan rumus kepentingan sederhana dan kompaun

Kedua-dua baris dalam angka bermula pada satu titik. Pada t = 0:

Sekiranya panjang selang masa t kurang daripada tempoh tempoh, maka minat mudah memberikan peningkatan yang lebih besar dalam jumlah daripada kompleks.

Grafik fungsi eksponen terletak di atas garis lurus, dan dengan peningkatan t, bukan sahaja percanggahan antara mereka bertambah, tetapi juga kadar peningkatan perbezaan ini. Sekiranya tempoh deposit lebih panjang daripada tempoh akruan yang menarik, maka lebih menguntungkan bagi pendeposit yang terakru mengikut formula faedah kompaun, dan dengan pertumbuhan tempoh deposit manfaat ini meningkat. Peminjam, sebaliknya, lebih menguntungkan untuk membayar pinjaman dengan minat yang mudah.

2.3.2. Formula Masa Penggandaan

Untuk menilai kadar pertumbuhan jumlah wang tunai, rumus jangka panjang yang digelar sering digunakan. Formula sedemikian membolehkan anda mengira tempoh yang mana jumlah pelaburan yang dilaburkan.

Tempoh ini dikira dengan menyelesaikan persamaan yang menentukan penggandaan kadar lipat.

Untuk kepentingan mudah, persamaan mempunyai bentuk

1 + i t = 2.

Untuk kepentingan kompaun, persamaan mempunyai bentuk

Penyelesaian persamaan ini ialah:

2.3.3. Sambungan antara taruhan sederhana dan kompleks

Kadar faedah bersamaan dengan kewangan jika penggantian satu kadar yang lain dalam kontrak tidak membawa kepada perubahan dalam hasil kewangan kontrak, kepada perubahan dalam hubungan pihak-pihak yang terlibat dalam transaksi.

Jika pertumbuhan pada kadar faedah yang mudah untuk masa tertentu membawa kepada hasil yang sama seperti pertumbuhan pada kadar faedah yang kompleks untuk masa yang sama, maka kadar ini bersamaan kewangan. Biar saya dan saya menjadi kadar faedah yang mudah dan kompleks dengan tempoh akruan yang sama (contohnya, kadar tahunan). Kami menyamakan faktor pertumbuhan pada kadar ini untuk masa t:

Dari sini seseorang boleh mendapatkan formula yang membolehkan seseorang mengira satu kesamaan yang mudah pada kadar yang kompleks dan menentukan kompleks yang bersamaan dengan menggunakan kadar yang mudah.

Ambil perhatian bahawa nilai selang masa t mengambil bahagian dalam formula untuk mengira pertaruhan yang setara. Apabila menukar panjang jurang, nilai kadar yang setara juga berubah.

Ia mengikuti secara terus dari formula yang diperoleh pada t = 1, iaitu, apabila panjang tempoh masa yang dipertimbangkan adalah bersamaan dengan tempoh akruan, kadar yang setara sama dengan satu sama lain:

jika t = 1, maka i n = i c.

Seperti yang ditunjukkan oleh sebab-sebab terdahulu kami, untuk kadar faedah yang sama i dan i keadaannya berpuas hati:

jika t> 1, maka i> i c.

2.3.4. Pertumbuhan Jumlah Pertumbuhan dan Kekuatan Berterusan

Dalam amalan perbankan, pemindahan kadar faedah bercampur sering digunakan, di mana kadar tahunan yang kompleks diterjemahkan, sebagai contoh, ke dalam kadar seperempat tidak begitu rumit, tetapi mudah. Faedah selanjutnya dikira menggunakan formula kadar kompaun.

Sebagai contoh, bank mengumumkan syarat deposit sebagai "48% setahun dengan akruan faedah suku tahunan." Ini bermakna faedah ditambah suku tahunan kepada nilai terkumpul sumbangan dan faedah terakru kepada mereka pada masa akan datang. Oleh itu, ini adalah pertaruhan yang kompleks. Bagaimanapun, faedah suku tahunan itu sendiri dikira menggunakan formula kadar mudah, iaitu, oleh formula

Diterjemahkan semula ke kadar tahunan kompaun, ini memberi

iaitu 57.35% setahun dan bukannya 48%. Hasilnya selalu terlalu mahal, jadi bentuk pemindahan ini tidak menguntungkan bagi bank itu sendiri. Ia memberi manfaat kepada pelanggan bank dan digunakan dalam amalan.

Mari kita lihat apakah ini akan membawa kepada jika kita secara beransur-ansur mengurangkan tempoh pengiraan faedah. Katakan bahawa bentuk pemindahan faedah ini tidak digunakan pada suku tahun, tetapi untuk tempoh bulanan.

Pengiraan kadar bulanan

menentukan kadar pertumbuhan tahunan

yang sepadan dengan kadar 60.10% setahun.

Anggapkan bahawa tempoh akruan menurun lagi, iaitu, tahun itu dipecah menjadi m sela masa yang sama, dan nilai m tumbuh. Kemudian formula umum untuk kadar pertumbuhan tahunan baru adalah seperti berikut:

(1 + i / m) m.

Dalam had, pada, kita dapati e i. Tambahan pula, pertumbuhan sumbangan sepanjang masa t (diukur dalam tahun) ditentukan oleh formula

S = p e ia.

Bilangan e yang terlibat dalam formula adalah asas logaritma semulajadi. Ia memainkan peranan penting dalam analisis matematik pelbagai proses. Nombor e - tidak rasional, maknanya adalah

Pangkalan Logaritma e disebut logaritma semulajadi dan dilambangkan oleh ln. Dalam pemproses spreadsheet Excel, fungsi yang sama dilabel LN.

Kami mencapai konsep minat berterusan menerusi bentuk akrual bercampur, melalui gabungan pengiraan pada kadar yang mudah dan kompleks. Bagaimanapun, bentuk bercampur tidak penting di sini. Hanya penyertaan pertaruhan yang kompleks adalah penting.

Dari konsep kadar yang kompleks kepada konsep minat yang berterusan, seseorang boleh pergi dengan cara yang lain. Untuk ini, formula faedah kompaun yang menentukan pertumbuhan jumlah awal P adalah mencukupi:

S = P (1 + i) t,

tulis dalam bentuk yang lain, bersamaan.

Formula faedah kompaun menentukan pertumbuhan jumlah mengikut undang-undang fungsi eksponen. Asas fungsi ini adalah nilai (1 + i). Untuk kadar faedah yang berbeza saya, alasannya berbeza. Formula faedah kompaun untuk masa yang berterusan berubah sedemikian rupa sehingga pada kadar yang berbeza asas menjadi sama, dan perubahan eksponen.

Biarkan huruf itu menandakan logaritma semulajadi nilai (1 + i):

Oleh itu, formula faedah kompaun boleh digantikan dengan formula yang setara:

Formula ini biasanya digunakan dalam analisis pertumbuhan berterusan jumlah wang.

Dalam formula ini, nilai α mewakili kadar pertumbuhan jumlah. Nilai α dipanggil kekuatan pertumbuhan, atau dengan daya tarikan. Ia sama dengan kelajuan kenaikan relatif dalam jumlah, iaitu, sama dengan kenaikan relatif dalam jumlah yang melebihi masa kecil yang tidak terhingga. Kuasa kepentingan adalah jenis kadar faedah khusus yang dirancang untuk mengkaji proses pertumbuhan jumlah wang dalam masa yang berterusan.

Kekuatan pertumbuhan berkait rapat dengan kadar faedah. Semakin tinggi kadar faedah i, semakin besar kadar pertumbuhan α, dan sebaliknya, semakin besar kadar pertumbuhan α, semakin tinggi kadar faedah. Walau bagaimanapun, hubungan di antara mereka tidak bersesuaian secara langsung dan linear. Ia mempunyai watak logaritma.

Bagi nilai-nilai kecil, kadar faedah hampir bertepatan dengan kekuatan pertumbuhan, bagaimanapun, dengan kenaikan kadar, perbezaan antara nilai berangka mereka meningkat. Dalam kes ini, kadar faedah dalam nilai berangka sentiasa lebih besar daripada kekuatan pertumbuhan.

Perlu ditekankan bahawa perbezaan ini tidak membawa kepada perbezaan dalam pertumbuhan monetari. Sebaliknya, bersamaan dengan satu sama lain, tetapi nilai-nilai kadar faedah dan kekuatan pertumbuhan yang berbeza dari segi nilai memberikan peningkatan yang sama dalam jumlah wang untuk tempoh masa yang sama.

2.4.1. Diskaun pada kadar faedah kompaun

Diskaun adalah urus niaga yang membolehkan jumlah masa depan wang untuk dibawa ke masa kini dalam masa. Operasi ini membolehkan anda menentukan nilai semasa bagi jumlah masa hadapan. Di atas, kami menilai diskaun pada kadar faedah yang mudah. Diskriminasi sedemikian menyiratkan peningkatan dalam jumlah wang mengikut formula faedah yang mudah. Kini kami mempertimbangkan diskaun pada kadar faedah kompaun yang bersamaan dengan peningkatan dalam jumlah wang yang menggunakan formula faedah kompaun.

Amaun awal wang P mengikut rumus faedah kompaun dengan kadar i untuk masa t bertukar menjadi jumlah S:

Ia mengikutinya

Formula ini membolehkan pembubaran, iaitu, dari nilai akhir S, menentukan nilai awal P. Faktor ini

dipanggil faktor diskaun sepanjang masa t. Ia adalah timbal balik faktor pertumbuhan. Nilai P dipanggil nilai moden, atau dikurangkan S. Ia juga dipanggil nilai yang diperolehi dengan diskaun S. Perbezaan S - P dipanggil diskaun dan biasanya dilambangkan dengan huruf D:

D = S - P.

Operasi diskaun adalah kebalikan dari jumlah operasi pertumbuhan. Oleh itu, sifat-sifat diskaun adalah berkait rapat dengan sifat-sifat bangunan. Di atas, perbandingan dibuat daripada pertumbuhan untuk kepentingan mudah dan kompaun. Untuk potongan harga, terdapat hubungan songsang.

Sekiranya tempoh masa kurang dari tempoh akruan (misalnya, setahun), maka pertumbuhan dalam minat mudah memberikan jumlah yang lebih besar daripada pertumbuhan faedah kompaun. Diskaun pada faedah mudah memberikan jumlah yang lebih kecil daripada diskaun pada faedah kompaun.

Sekiranya tempoh masa lebih panjang daripada tempoh akruan, kadar faedah yang lebih tinggi memberi peningkatan yang lebih besar dalam amaun tersebut. Walau bagaimanapun, kadar yang kompleks memberikan nilai yang lebih rendah pada harga diskaun.

Diskaun boleh dilakukan bukan sahaja untuk diskret, tetapi juga untuk pengukuran masa yang berterusan. Dari formula untuk masa yang berterusan menggunakan kekuatan pertumbuhan borang

kami mendapat formula diskaun:

digunakan dalam pengiraan diskaun dengan masa yang berterusan.

2.4.2. Kadar diskaun kompaun

Dalam urus niaga perakaunan, kedua-dua kadar diskaun mudah dan kompleks digunakan. Процедуры расчетов с простой учетной ставкой были изучены выше. Теперь мы рассмотрим соответствующие процедуры для сложной учетной ставки.

Простая учетная ставка при дисконтировании применяется к одной и той же первоначальной сумме, снижение этой суммы по периодам времени происходит равномерно.

Kadar diskaun kompaun pada setiap langkah diskaun tidak digunakan pada jumlah awal, tetapi jumlahnya dikurangkan dengan jumlah diskaun yang ditentukan dalam langkah sebelumnya. Proses potongan harga pada masa yang sama perlahan.

Jika jumlah akhir adalah S dan kadar diskaun ialah d, maka diskaun pada kadar diskaun kompleks untuk tempoh masa t memberikan jumlah awal P ditentukan oleh formula

2.5. Kadar diskaun tahunan, suku tahunan, bulanan

Di atas, kami mengkaji peralihan daripada kadar faedah kompaun tahunan kepada kadar faedah kompaun suku tahunan, bulanan dan lain-lain. Lebih umum, ini sepadan dengan peralihan dari kadar dengan satu tempoh akruan kepada kadar dengan tempoh akruan yang berbeza. Dua kaedah peralihan telah dipelajari: peralihan kepada kadar yang seimbang dan peralihan kepada kadar relatif. Kelebihan kaedah pertama ialah ketepatannya, kelebihan kaedah kedua adalah kesederhanaannya.

Peralihan dari kadar diskaun tahunan kepada kadar suku tahunan, bulanan dan lain-lain dilakukan dalam dua cara yang sama. Salah seorang daripada mereka memberikan kadar diskaun seimbang, dan yang lain membolehkan anda untuk mendapatkan kadar diskaun relatif. Mari kita anggap mereka teratur.

2.5.1. Kadar diskaun seimbang

Kadar diskaun seimbang ditentukan mengikut prinsip kesetaraan kewangan hasil.

Hasil kewangan yang diperoleh pada tahun pada kadar diskaun tahunan d tahun sepatutnya sama dengan keputusan yang diperolehi untuk 4 suku pada kadar diskaun kompleks d persegi. Dalam erti kata lain, persamaan mesti dipegang.

Dari sini kami memperoleh formula yang membenarkan

Tonton video itu: Fundo para Busca - IURD - Tema 2 (Ogos 2020).

Pin
Send
Share
Send
Send